Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+4x

（2）解：當y=3時，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，則C點坐標為（3，3），

所以△ABC的面積= ×2×3=3

（3）解：作PQ⊥BH，如圖，設P（m，﹣m2+4m）

∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，

∴ ×3×3+ （3+m﹣1）×（m2﹣4m）= ×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+6，

整理得m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴P點坐標為（5，﹣5）．

【解析】（1）把A點和B點坐標分別代入y=ax2+bx中得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；（2）計算函數值為3所對應的自變量的值即可得到C點，然后根據三角形面積公式計算△ABC的面積；（3）作PQ⊥BH，如圖，設P（m，﹣m2+4m），則利用S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP可得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數圖象的平移和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．