Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．CD⊥AB于點D．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段AB向終點B運動．在運動過程中，以點P為頂點作長為2，寬為1的矩形PQMN，其中PQ=2，PN=1，點Q在點P的左側，MN在PQ的下分，且PQ總保持與AC垂直．設P的運動時間為t（秒）（t＞0），矩形PQMN與△ACD的重疊部分圖形面積為S（平方單位）．

（1）求線段CD的長；

（2）當矩形PQMN與線段CD有公共點時，求t的取值范圍；

（3）當點P在線段AD上運動時，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）≤t≤；（3）當0＜t＜時，S＝；當≤t≤時， S＝2；當＜t≤時，S＝．

【解析】

（1）由勾股定理得出AB＝10，由△ABC的面積得出ACBC＝ABCD，即可得出CD的長；

（2）分兩種情形：①當點N在線段CD上時，如圖1所示，利用相似三角形的性質求解即可．②當點Q在線段CD上時，如圖2所示，利用相似三角形的性質求解即可；

（3）首先求出點Q落在AC上的運動時間t，再分三種情形：①當0＜t＜時，重疊部分是矩形PNYH，如圖4所示，②當≤t≤時，重合部分是矩形PNMQ，S＝PQPN＝2，③當＜t≤時，如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI，分別求解即可．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴ACBC＝ABCD，即：8×6＝10×CD，

∴CD＝；

（2）在Rt△ADC中，AD＝，BD＝ABAD＝，

當點N在線段CD上時，如圖1所示：

∵矩形PQMN，PQ總保持與AC垂直，

∴PN∥AC，

∴∠NPD＝∠CAD，

∵∠PDN＝∠ADC，

∴△PDN∽△ADC，

∴，即：，

解得：PD＝，

∴t＝ADPD＝；

當點Q在線段CD上時，如圖2所示：

∵PQ總保持與AC垂直，

∴PQ∥BC，△DPQ∽△DBC，

∴，即：，

解得：DP＝，

∴t＝AD＋DP＝，

∴當矩形PQMN與線段CD有公共點時，t的取值范圍為：≤t≤；

（3）當Q在AC上時，如圖3所示：

∵PQ總保持與AC垂直，

∴PQ∥BC，△APQ∽△ABC，

∴，即：，

解得：AP＝，

當0＜t＜時，重疊部分是矩形PNYH，如圖4所示：

∵PQ∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴，即：，

∴PH＝，

∴S＝PHPN＝；

當≤t≤時，重合部分是矩形PNMQ，S＝PQPN＝2；

當＜t≤時，如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI，

易得△PDI∽△ACB∽△JNI，

∴，即：，

∴PI=（t），

∴，即：，

∴JN=，

S＝S矩形PNMQS△JIN＝2·（）·[1（t）]＝．