Question

【題目】已知：如圖①，在平面直角坐標系xOy中，A（0，5），C（ ，0），AOCD為矩形，AE垂直于對角線OD于E，點F是點E關于y軸的對稱點，連AF、OF．

（1）求AF和OF的長；
（2）如圖②，將△OAF繞點O順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△OAF為△OA′F′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與線段AD交于點P，與線段OD交于點Q，是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①

∵OA=5，AD=OC= ，

由勾股定理可求．OD= ，

∵AE×OD=AO×AD，

∴AE=4，

∴OE= =3，

∵點F是點E關于y軸的對稱點，

∴AF=AE=4，OF=OE=3

（2）解：如圖②

若PD=PQ，

易得∠1=∠2=∠3，

∵∠1=∠A′，

∴∠3=∠A′，

∴OQ=OA′=5，

∴DQ= ，

過點P作PH⊥DQ，

∴ ，

∵cos∠1= ，

∴DP= ，

∴AP= ，

∴此時點P的坐標為（ ，5）；

如圖③

∵點P在線段AD上，

∴∠1＞∠PDQ，

∴QP，QD不會相等；

如圖③，

若DP=DQ，

易得，∠1=∠2=∠3=∠4，

∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，

∴∠4=∠A′OQ，

∴A′Q=A′O=5，

∴F′Q=5﹣4=1，

∴OQ= ，

∴DP=DQ= ﹣ ，

∴AP=AD﹣DP= ﹣ ，

∴此時點P的坐標為：（ ﹣ ，5）

【解析】（1）運用勾股定理和面積相等法結合軸對稱性質即可求解；（2）畫出圖形，根據PQ=PD，PD=DQ結合平行線的性質，對頂角相等和角的等量代換，運用勾股定理即可求解．
【考點精析】掌握相似三角形的應用是解答本題的根本，需要知道測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．