Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD＝3，AC＝6，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴∠CAD=∠CAO．

∴AC平分∠BAD．

（2）解：連結OE，作OH⊥AE，

∵CD＝3，AC＝6，AD⊥CD，

∴∠CAD=∠CAO =∠OCA=30°，

∴∠DAO=60°，∠AOC=120°．

∵OE=OA，

∴△AOE為等邊三角形．

∴∠AOE=60°，

∴OE⊥CA．

∴AO=OC=2 ，OH=3．

∴S陰影= S扇形－S△AOE＝ －3 ＝2π－3

【解析】（1）連結OC，根據等邊對等角得出∠OAC=∠OCA，根據切線的性質得出OC⊥CD，又AD⊥CD，根據同一平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出OC∥AD，根據二直線平行內錯角相等得出∠OCA=∠CAD，進而得出結論；
（2）連結OE，作OH⊥AE，根據Rt△ADC中一條直角邊等于斜邊的一半從而這條直角邊所對的銳角等于30，得出∠CAD=∠CAO =∠OCA=30°，進而得出∠DAO=60°，∠AOC=120°，根據含60的等腰三角形是等邊三角形得出△AOE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠AOE=60°，進而得出OE⊥CA，根據含30的直角三角形的邊角關系得出AO=OC=2 ，OH=3，然后利用S陰影= S扇形－S△AOE算出結果。

【考點精析】關于本題考查的平行線的判定與性質和三角形的面積，需要了解由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．