Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是AC上一點，連接BE．

（1）若CB=4，BE=5，求AE的長；

（2）如圖2，點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連接CD、CF，當AF=DF時，求證：DC=BC；

小潔在遇到此問題時不知道怎么下手，秦老師提示他可以過點C作CHCF，交DB于點H,先證明△AFC△BHC，然后繼續思考，并鼓勵小潔把證明過程寫出來．請你幫助小潔完成這個問題的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質求出AC和BC的長，由勾股定理求出CE的長，再根據AE=AC-CE即可求出AE的長;

（2）過點C作CM⊥CF交BD于點M，先通過證△ACF≌△BCM，得出FC=MC，∠CFM=45°，進而得出∠AFC=∠DFC，結合已知條件可證△ACF≌△DCF，從而可得AC=DC，通過等量代換可得DC=BC.

（1）在△ABC中，

CE==3

∴AE=AC-CE=4-3=1.

（2）如圖，過點C作CM⊥CF交BD于點M.

∴∠FCM=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCA=∠MCB，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠AFE=∠ACB，

∵∠AEF=∠BEC，

∴∠CAF=∠CBM，

在△ACF和△BCM中，

∵∠FCA=∠MCB，

AC=BC,

∠CAF=∠CBM，

∴△ACF≌△BCM

∴FC=MC，

又∵∠FCM=90°，

∴∠CFM=∠CMF=45°，

∴∠AFC=90°+45°=135°，∠DFC=180°-45°=135°，

∴∠AFC=∠DFC.

在△ACF和△DCF中，

∵AF=DF,

∠AFC=∠DFC,

CF=CF,

∴△ACF≌△DCF，

∴AC=DC，

∵AC=BC，

∴DC=BC.