Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°
（1）求證：AG=FG；
（2）如圖2延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M，連接DF、BM，若C為FM中點(diǎn)，BM=10，求FD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）解：∵CH⊥GF，

∴CH//GM，

∵C為FM的中點(diǎn)，

∴CH= GM，

∴BG= GM，

∵BM=10，

∴BG=2 ，GM=4 ，

∴AG=4 ，AB=10，

∴HF=2 ，

∴CF=2 × =2 ，

∴CM=2 ，

過(guò)B點(diǎn)作BK⊥CM于K，

∵CK= CM= CF= ，

∴BK=3 ，

過(guò)D作DQ⊥MF交MF延長(zhǎng)線于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3 ，

DQ=CK= ，

∴QF=3 ﹣2 = ，

∴DF= =2

【解析】（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，根據(jù)已知條件可證明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因?yàn)锽H=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，進(jìn)而證明AG=FG；（2）過(guò)D作DQ⊥MF交MF延長(zhǎng)線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出FD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．