Question

【題目】已知關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有兩個不相等的實數根x1和x2 ， 拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點分別為位于點（2，0）的兩旁，若|x1|+|x2|=2 ，則a的值為 ．

Answer 1

【答案】-1
【解析】解：∵關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有兩個不相等的實數根， ∴ ，
解得：a＜0，且a≠﹣2 ①
設拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，
則α、β是關于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的兩個不相等的實數根，
∵△=[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）2+21＞0，
∴a為任意實數②
由根與系數關系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5．
∵拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，
∴α＜2，β＞2，
∴（α﹣2）（β﹣2）＜0，
∴αβ﹣2（α+β）+4＜0，
∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0
解得：a＞﹣ ③
由①、②、③得a的取值范圍是﹣ ＜a＜0；
∵x1和x2是關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0的兩個不相等的實數根
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵﹣ ＜a＜0，
∴a+2＞0，
∴x1x2= ＜0．
不妨設x1＞0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ，
∴x12﹣2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（ ）2﹣ =8，
解這個方程，得：a1=﹣4，a2=﹣1，
經檢驗，a1=﹣4，a2=﹣1都是方程（ ）2﹣ =8的根．
∵a=﹣4＜﹣ ，舍去，
∴a=﹣1為所求．
所以答案是﹣1．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．