Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，其中m為常數．
（1）求b的值，并用含m的代數式表示c；
（2）若拋物線y=x2+bx+c與x軸有公共點，求m的值；
（3）設（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線y=x2+bx+c上的兩點，請比較y2﹣y1與0的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，

∴ ，

∴ ，

即：b=2，c=m2+2m+2

（2）

解：由（1）得y=x2+2x+m2+2m+2，

令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，

∵拋物線與x軸有公共點，

∴△=4﹣4（m2+2m+2）≥0，

∴（m+1）2≤0，

∵（m+1）2≥0，

∴m+1=0，

∴m=﹣1

（3）

解：由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，

∵（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線的圖象上的兩點，

∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，

∴y2﹣y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]

=4（a+2）

當a+2≥0，即a≥﹣2時，y2﹣y1≥0，

當a+2＜0，即a＜﹣2時，y2﹣y1＜0

【解析】（1）由拋物線上兩點代入拋物線解析式中即可求出b和c；（2）令y=0，拋物線和x軸有公共點，即△≥0，和非負數確定出m的值，（3）將兩點代入拋物線解析式中，表示出y1 ， y2 ， 求出y2﹣y1分情況討論即可
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．