Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F，連接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判斷AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB是⊙O切線．

理由：連接DE、CF．

∵CD是直徑，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠ACE=180°，

∴DE∥AC，

∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，

∵∠DFC=90°，

∴∠FCD+∠CDF=90°，

∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，

∴∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AD，

∴AB是⊙O切線

（2）解：∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，

∴△PCF∽△PAC，

∴ ，

∴PC2=PFPA，設PF=a．則PC=2a，

∴4a2=a（a+5），

∴a= ，

∴PC=2a=

【解析】（1）結論：AB是⊙O切線，連接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要證明∠ADF=∠DCF即可解決問題．（2）只要證明△PCF∽△PAC，得 ，設PF=a．則PC=2a，列出方程即可解決問題．