Question

【題目】設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c．設S為△ABC的面積，滿足S= （a2+c2﹣b2）． （Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b= ，求（ ﹣1）a+2c的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵S= acsinB，cosB= 即a2+c2﹣b2=2accosB， ∴S= （a2+c2﹣b2）變形得： acsinB= ×2accosB，
整理得：tanB= ，
又0＜B＜π，
∴B= ，
（Ⅱ）∵A+B+C=π，
∴0＜A＜ ，
由正弦定理知a= = =2sinA，
c= =2sin（ ﹣A），
∴（ ﹣1）a+2c=2（ ﹣1）sinA+4sin（ ﹣A）=2 sinA+2 cosA=2 sin（A+ ）≤2 ，
當且僅當A= 時取最大值，
故（ ﹣1）a+2c的最大值為2
【解析】（Ⅰ）利用三角形的面積公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B，（Ⅱ）先求出A的范圍，再根據正弦定理表示出a，c，根據兩角和差的正弦公式，正弦函數的圖象和性質即可求出最大值