Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，△ABC的周長為12，AB，AC邊的中點分別為F1（﹣1，0）和F2（1，0），點M為BC邊的中點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設點M的軌跡為曲線T，直線MF1與曲線T另一個交點為N，線段MF2中點為E，記S=S +S ，求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，|MF1|+|MF2|=6﹣2=4＞2=|F1F2|，

∴M的軌跡是以F1（﹣1，0）和F2（1，0）為焦點的橢圓（除去與x軸的交點），a=2，c=1，

∴b= ，

∴點M的軌跡方程為 =1；

（2）解：設M（x1，y1），N（x2，y2），則由題意，設直線MN的方程為x=my﹣1，

代入橢圓方程，整理可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，

則y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

∴S=S +S = |y1|+ |y2|= |y1﹣y2|=6 ，

令t=3m2+4≥4，則S=6 ，∴t=4，S的最大值為 ．

【解析】（1）利用橢圓的定義，求點M的軌跡方程；（2）設直線MN的方程為x=my﹣1，代入橢圓方程，整理可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，利用韋達定理，結合三角形的面積公式，即可得出結論．