Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（a∈R）與函數 有公共切線． （Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a對于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ． ∵函數f（x）與F（x）有公共切線，∴函數f（x）與F（x）的圖象相切或無交點．
當兩函數圖象相切時，設切點的橫坐標為x0（x0＞0），則 ，
解得x0=2或x0=﹣1（舍去），
則f（2）=F（2），得a=ln2﹣3，
由此求出a≥ln2﹣3，即a的取值范圍為[ln2﹣3，+∞）．
（Ⅱ）等價于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，
因為g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得 ，

x
g'（x）	﹣	0	+
g（x）		極小值

所以g（x）的最小值為 ，
令 ，因為 ，
令t'（x）=0，得x=1，且

x	（0，1）	1	（1，+∞）
t'（x）	+	0	﹣
t（x）		極大值

所以當a∈（0，1）時，g（x）的最小值 ，
當a∈[1，+∞）時，g（x）的最小值為 =t（2），
所以a∈[1，2]．
綜上得a的取值范圍為（0，2]
【解析】．（Ⅰ） ， ．由函數f（x）與F（x）有公共切線，知函數f（x）與F（x）的圖象相切或無交點．由此能求出a的取值范圍（Ⅱ）等價于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得 ，從而求出g（x）的最小值，令 ，由 =0，得x=1，由此能求出a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．