Question

【題目】已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 的側(cè)面 A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；
（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閭?cè)面A1ACC1⊥底面ABC，AA1側(cè)面A1ACC1，

側(cè)面A1ACC1∩底面ABC=AC

所以直線AA1在底面ABC內(nèi)的射影為直線AC

故∠A1AC為側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角

又AA1⊥A1C，AA1=A1C，

所以∠A1AC=45°為所求．

（2）解：取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A1M，MN，NA1

由（1）知A1M⊥AC，

故A1M⊥底面ABC，A1M⊥AB

又MN∥BC，∠ABC=90°

所以MN⊥AB，又MN∩A1M=M，所以AB⊥平面A1MN

則∠A1NM即為所求二面角的平面角

在RtA1MN中，A1M= ，AC=3，MN= BC=1，∠A1MN=90°，

所以tan∠A1MN= =3，∠A1MN=arctan3．

即所求二面角的大小為arctan3．

【解析】（1）由已知得直線AA1在底面ABC內(nèi)的射影為直線AC，∠A1AC為側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角，由此能求出側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小．（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A1M，MN，NA1 ， 由已知得∠A1NM即為所求二面角的平面角，由此能求出側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．