Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E，若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，則圖中陰影部分面積是（結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】3π﹣2
【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形， ∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；
∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2 ，
∴OE=OCtan∠OCE=2 tan30°=2 × =2，
∴S△OEC= OEOC= ×2×2 =2 ，
∴S扇形OBC= =3π，
∴S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2 ．
故答案為：3π﹣2 ．
根據四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°，根據∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，從而得到∠COB為直角，然后利用S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．