Question

【題目】把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．
（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；
（2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；
（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=2t

∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，

∴∠CQE=45°=∠DEF，

∴CQ=CE=t，

∴AQ=8﹣t，

t的取值范圍是：0≤t≤5；

（2）解：過點P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，

∴PG=PBSinB= （10﹣2t）

∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE= =

∴當 （在0≤t≤5內），y有最大值，y最大值= （cm2）

（3）解：若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得： （s）

若AP=PQ，如圖①：過點P作PH⊥AC，則AH=QH= ，PH∥BC

∴△APH∽△ABC，

∴ ，

即 ，

解得： （s）

若AQ=PQ，如圖②：過點Q作QI⊥AB，則AI=PI= AP=t

∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，

∴△AQI∽△ABC

∴ 即 ，

解得： （s）

綜上所述，當 或 或 時，△APQ是等腰三角形．

【解析】（1）根據題意以及直角三角形性質表達出CQ、AQ，從而得出結論，（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根據題意以及三角形相似對邊比例性質即可得出結論．