Question

【題目】小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：
問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，求證：S四邊形ABCD=S△ABF ． （S表示面積）

問題遷移：如圖2：在已知銳角∠AOB內有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，△MON的面積存在最小值，請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由．

實際應用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區△MON．若測得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，試求△MON的面積．（結果精確到0.1km2）（參考數據：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25， ≈1.73）
拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）（6，3）（ ， ）、（4、2），過點p的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：問題情境：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵點E為DC邊的中點，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE ，
∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE ，
即S四邊形ABCD=S△ABF；
問題遷移：出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小，如圖2，
過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，
由問題情境可以得出當P是MN的中點時S四邊形MOFG=S△MON ．
∵S四邊形MOFG＜S△EOF ，
∴S△MON＜S△EOF ，
∴當點P是MN的中點時S△MON最小；
實際運用：如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1 ， M1 ，
在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1= OP=2，OP1=2 ．
由問題遷移的結論知道，當PM=PN時，△MON的面積最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，
tan∠AOB= ，
2.25= ，
∴OM1= ，
∴M1P1=P1N=2 ﹣ ，
∴ON=OP1+P1N=2 +2 ﹣ =4 ﹣ ．
∴S△MON= ONMM1= （4 ﹣ ）×4=8 ﹣ ≈10.3km2 ．
拓展延伸：①如圖4，當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N，延長OC、AB交于點D，
∵C（ ， ），
∴∠AOC=45°，
∴AO=AD．
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴AD=6．
∴S△AOD= ×6×6=18，
由問題遷移的結論可知，當PN=PM時，△MND的面積最小，
∴四邊形ANMO的面積最大．
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分別為P1 ， M1 ，
∴M1P1=P1A=2，
∴OM1=M1M=2，
∴MN∥OA，
∴S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形ANMM1= ×2×2+2×4=10
②如圖5，當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，
∵C（ ， ）、B（6，3），設直線BC的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得： ，
∴y=﹣x+9，
當y=0時，x=9，
∴T（9，0）．
∴S△OCT= 9= ．
由問題遷移的結論可知，當PM=PN時，△MNT的面積最小，
∴四邊形CMNO的面積最大．
∴NP1=M1P1 ， MM1=2PP1=4，
∴4=﹣x+9，
∴x=5，
∴M（5，4），
∴OM1=5．
∵P（4，2），
∴OP1=4，
∴P1M1=NP1=1，
∴ON=3，
∴NT=6．
∴S△MNT= ×4×6=12，
∴S四邊形OCMN= ﹣12= ＜10．
∴綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10．



【解析】問題情境：根據可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出結論；
問題遷移：根據問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論；
實際運用：如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1 ， M1 ， 再根據條件由三角函數值就可以求出結論；
拓展延伸：分情況討論當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N，延長OC、AB交于點D，由條件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面積，再根據問題遷移的結論就可以求出最大值；
當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結論可以求出最大值，通過比較就可以求出結論．