Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)M作MF∥y軸交拋物線于F，交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，連接FA，F(xiàn)C，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx﹣c，可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：把x=2代入拋物線解析式可得y=22﹣2×2﹣3=﹣3，

∴C（2，﹣3），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+s，把A、C坐標(biāo)代入可得， ，解得 ，

∴直線AC解析式為y=﹣x﹣1

（3）

解：存在m，使△AFC的面積最大．

理由如下：

∵點(diǎn)M在直線AC上，

∴M（m，﹣m﹣1），

∵點(diǎn)F在拋物線上，

∴F（m，m2﹣2m﹣3），

∵點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)，

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2，

∵A（﹣1，0），C（2，﹣3），

∴S△ACF= MF[2﹣（﹣1）]= MF= （﹣m2+m+2）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)m= 時(shí)，△AFC的面積最大，最大為值為

【解析】（1）把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；（2）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（3）用m可出M的坐標(biāo)，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可表示出MF的長(zhǎng)，表示出△AFC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時(shí)的m．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．