Question

【題目】正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F．
（1）如圖①，求證：AE=AF；
（2）如圖②，此直角三角板有一個角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG；
（3）在（2）的條件下，如果 = ，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，

∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（ASA）

∴AE=AF

（2）解：如圖②，連接AG，

∵∠MAN=90°，∠M=45°，

∴∠N=∠M=45°，

∴AM=AN．

∵點G是斜邊MN的中點，

∴∠EAG=∠NAG=45°．

∴∠EAB+∠DAG=45°．

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，

∴∠DAF+∠DAG=45°，

即∠GAF=45°，

∴∠EAG=∠FAG．

在△AGE和AGF中，

，

∴△AGE≌AGF（SAS），

∴EG=GF．

∵GF=GD+DF，

∴GF=GD+BE，

∴EG=BE+DG

（3）解：G不一定是邊CD的中點．

理由：設AB=6k，GF=5k，BE=x，

∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，

∴CG=CF﹣GF=k+x，

在Rt△ECG中，由勾股定理，得

（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，

解得：x1=2k，x2=3k，

∴CG=4k或3k．

∴點G不一定是邊CD的中點．

【解析】（1）由正方形的性質可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性質∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結論；（2）如圖2，連結AG，由且點G是斜邊MN的中點，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，就有∠EAB+∠DAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結論；（3）設AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出結論．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．