Question

【題目】閱讀理解：小明熱愛(ài)數(shù)學(xué)，在課外書上看到了一個(gè)有趣的定理﹣﹣“中線長(zhǎng)定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)“中線長(zhǎng)定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2 ． 小明嘗試對(duì)它進(jìn)行證明，部分過(guò)程如下：
解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2 ，
同理可得：AC2=AE2+CE2 ， AD2=AE2+DE2 ，
為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）請(qǐng)你完成小明剩余的證明過(guò)程；
理解運(yùn)用：

（2）①在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=；
②如圖3，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在圓內(nèi)，且OA=2 ，點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O上，且∠BAC=90°，點(diǎn)E、F分別為AO、BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為
拓展延伸：

（3）小明解決上述問(wèn)題后，聯(lián)想到《能力訓(xùn)練》上的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為5 ，以A（﹣3，4）為直角頂點(diǎn)的△ABC的另兩個(gè)頂點(diǎn)B，C都在⊙O上，D為BC的中點(diǎn)，求AD長(zhǎng)的最大值．
請(qǐng)你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，

同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x，DE=y，

∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x﹣y）=2AE2+2x2+2y2、

=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2

（2）,4
（3）如圖4中，連接OA，取OA的中點(diǎn)E，連接DE．

由（2）的②可知：DE═ OB2﹣ OA2= ，

在△ADE中，AE= ，DE= ，

∵AD≤AE+DE，

∴AD長(zhǎng)的最大值為 + =10

【解析】解：（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，

∴62+42=2AD2+2×42，

∴AD=

②如圖3中，

∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，

∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，

2AF2+2BF2=AB2+AC2，

OF2=OB2﹣BF2，

∴4EF2=2OB2﹣4AE2=2OB2﹣OA2，

∴EF=2= OB2﹣ OA2=16，

∴EF=4（負(fù)根以及舍棄），

所以答案是 ．4．