Question

【題目】直線y= x與雙曲線y= 的交點A的橫坐標為2
（1）求k的值
（2）如圖，過點P（m，3）（m＞0）作x軸的垂線交雙曲線y= （x＞0）于點M，交直線OA于點N
①連接OM，當OA=OM時，直接寫出PN﹣PM的值
②試比較PM與PN的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A在直線y= x上，且A點的橫坐標為2，

∴y= ×2=3，

∴A（2，3），把A（2，3）代入y= ，可得k=6，

∴k=6．

（2）解：①當M與A重合時，PN﹣PM=0，

當M（3，2）時，P（3，3），N（3， ），

∴PN﹣PM=（ ﹣3）﹣（3﹣2）= ，

綜上所述PN﹣PM=0或 ．

②∵PM⊥x軸，P（m，3），

∴N（3， m），M（m， ）．

∴PN=| m﹣3|，PM=| ﹣3|，

當P、M、N三點重合時，PM=PM=0．

當0＜m＜2時，PM= ﹣3，PN=3﹣ m，

PM﹣PN= ﹣3﹣（3﹣ m）= ﹣6+ m=6（ ﹣ ）2＞0，

∴PM＞PN．

當m＞2時，PM=3﹣ ，PN= m﹣3，

PM﹣PN=3﹣ ﹣（ m﹣3）=﹣ +6﹣ m=﹣6（ ﹣ ）2＜0，

∴PM＜PN，

綜上所述，當m=2時，PM=PN，當0＜m＜2時，PM＞PN，當m＞2時，PM＜PN．

【解析】（1）先求出點A坐標，利用待定系數法即可解決問題．（2）①分兩種情形討論求解．②分三種情形討論求解a、m=2．b、0＜m＜2，C、m＞2．分別利用求差法比較大小即可．