Question

【題目】在數學拓展課上，老師讓同學們探討特殊四邊形的做法：

如圖，先作線段，作射線（為銳角），過作射線平行于，再作和的平分線分別交和于點和，連接，則四邊形為菱形；

（1）你認為該作法正確嗎？請說明理由.

（2）若，并且四邊形的面積為，在上取一點，使得.請問圖中存在這樣的點嗎？若存在，則求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）作法正確（2）或

【解析】

（1）根據作法可以推出，又因為，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，因此作法正確；

（2）作，由面積公式可求出,由菱形的性質可得AD=AB=4，用勾股定理可得，由銳角三角函數得，所以是正三角形.再根據菱形對角線互相垂直的性質，利用勾股定理解得或.

（1）作法正確.理由如下：

∵

∴

∵平分，平分

∴

∴

∴

又∵

∴四邊形是平行四邊形

∵

∴四邊形是菱形.

故作法正確.

（2）存在.

如圖，作

∵，

∴ 且

∴由勾股定理得

∴由銳角三角函數得

∴是正三角形

∴

∵ ∴

∴或