Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接CB，過C作CD⊥AB于點D，過點C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線．

（2）如圖2，點F在⊙O上，且滿足∠FCE＝2∠ABC，連接AF井延長交EC的延長線于點G．

①試探究線段CF與CD之間滿足的數量關系；

②若CD＝4，BD＝2，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①CF＝2CD；②FG＝．

【解析】

（1）如圖1，連接OC，根據等邊對等角得：∠OBC＝∠OCB，由垂直定義得：∠OBC+∠BCD＝90°，根據等量代換可得：∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，可得結論；

（2）①如圖2，過O作OH⊥CF于點H，證明△COH≌△COD，則CH＝CD，得CF＝2CD；

②先根據勾股定理求BC＝＝2，則CF＝2CD＝8，設OC＝OB＝x，則OD＝x﹣2，根據勾股定理列方程得：x2＝（x﹣2）2+42，可得x的值，證明△GFC∽△CBO，列比例式可得FG的長．

（1）證明：如圖1，連接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵CD⊥AB，

∴∠OBC+∠BCD＝90°，

∵∠BCE＝∠BCD，

∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）解：①線段CF與CD之間滿足的數量關系是：CF＝2CD，

理由如下：

如圖2，過O作OH⊥CF于點H，

∴CF＝2CH，

∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，

∴∠OCH＝∠OCD，

∵OC為公共邊，

∴△COH≌△COD（AAS），

∴CH＝CD，

∴CF＝2CD；

②∵CD＝4，BD＝2，

∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，

設OC＝OB＝x，則OD＝x﹣2，

在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，

∴x2＝（x﹣2）2+42，

解得：x＝5，即OB＝5，

∵OC⊥GE，

∴∠OCF+∠FCG＝90°，

∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，

∴∠GCF＝∠COB，

∵四邊形ABCF為⊙O的內接四邊形，

∴∠GFC＝∠ABC，

∴△GFC∽△CBO，

∴，

∴，

∴FG＝．