Question

【題目】如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點放在C（1，）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個頂點A，B恰好是直線y=kx+與雙曲線y=（m＞0）的交點．

（1）求m和k的值；

（2）設雙曲線y=（m＞0）在A，B之間的部分為L，讓一把三角尺的直角頂點P在L上滑動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段AB交于M，N兩點，請探究是否存在點P使得MN=AB，寫出你的探究過程和結論．

Answer 1

【答案】（1）k=﹣；m=4 ；（2）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）由題意易知點A橫坐標為1，代入y=，可用含m的代數式表示它的縱坐標；同理可表示點B坐標，再代入方程組即可求m和k的值；

（2）用反證法證明．假設存在，運用一元二次方程判別式即可解出．

解：（1）∵A，B在雙曲線y=（m＞0）上，AC∥y軸，BC∥x軸，

∴A，B的坐標分別（1，m），（2m，）

又點A，B在直線y=kx+上，

∴

解得或

當k=﹣4且m=時，點A，B的坐標都是（1，），不合題意，應舍去；

當k=﹣且m=4時，點A，B的坐標分別為（1，4），（8，，符合題意．

∴k=﹣，m=4．

（2）假設存在點P使得MN=AB．

∵AC∥y軸，MP∥y軸，

∴AC∥MP，

∴∠PMN=∠CAB，

∴Rt△ACB∽Rt△MPN，

∴，

設點P坐標為P（x，）（1＜x＜8），

∴M點坐標為M（x，﹣x+），

∴MP=﹣x+-．

又∵AC=4﹣，

∴，即2x2﹣11x+16=0（※）

∵△=（﹣11）2﹣4×2×16=﹣7＜0．

∴方程（※）無實數根．

∴不存在點P使得MN=AB．