Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E、F、G． H分別AB、BC、 CD、 DA邊上的動點，且AE=BF=CG=DH

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形：

(2)在點E、F、G、H運動過程中，判斷直線GE是否經過某一定點，如果是，請你在圖中畫出這個點：如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是，直線GE總過AC、BD的交點M，作圖見解析．

【解析】

（1）由矩形的性質得出∠A=∠C=90°，BC=AD，由AE=BF=CG=DH證出AH=CF，由SAS證明△AEH≌△CGF，可得HE=FG，同理可得HG=FE即可求解；

（2）直線GE經過一個定點，這個定點為矩形的對角線AC、BD的交點．只要證明四邊形AECG是平行四邊形，即可推出MA=MG，MG=ME，即點M為AC的中點，又矩形ABCD的對角線互相平分，推出點M為矩形對角線ACBD的交點．

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD，∠A=∠C=90°，

∵BF=DH，

∴BC-BF=AD-DH，即CF=AH，

又AE=CG，

∴△HAE≌△FCG，

∴HE=FG，

同理可證：HG=FE，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）直線GE經過一個定點，這個定點為矩形的對角線AC、BD的交點．

理由如下：

如圖，連結AC、AG、CE，設AC、EG的交點為M．

∵AE∥CG，AE=CG，

∴四邊形AECG是平行四邊形，

∴MA=MG，MG=ME，

即點M為AC的中點，

又矩形ABCD的對角線互相平分

∴點M為矩形對角線ACBD的交點，

∴直線GE總過AC、BD的交點M．