閔行區2006年第二學期高三質量監控考試
數 學 試 卷
考生注意：
1． 答卷前，考生務必將學校、班級、學號、姓名填寫清楚．
2． 本試卷共有22道題，滿分150分，考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆書寫，請不要將答案寫在試卷的密封線以內．
題號后面“（文）”、“（理）”分別表示該題文科、理科考生完成.
一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．若集合
，
，則
=_____________．
2．若
，且
，則
是第___________象限角．
3．若
是方程
的兩個根，則
______________．
4．設
是平面內的兩個向量，若
，則
__________．
5．若函數
的周期是
，則
________．
6．（理）在極坐標系中，點A
到直線
的距離是_____．
（文）圓
上一動點到點P
的距離最大值是______．
7．（理）若二項式
的展開式中的第二項等于
(a為大于零的常數)，則
=__________．
（文）某工程的工序流程
圖如圖（工時單位：天），
現已知工程總時數為11天，
則工序f所需工時為______天．
8．為迎接2010年世博會召開，營造良好的生活環境，上海市政府致力于城市綠化．現有甲、乙、丙、丁4個工程隊承包5個不同的綠化工程，每個工程隊至少承包1項工程，那么工程隊甲承包兩項工程的概率是______．
9．一個等差數列共有
項，若該數列的各項和為
，且
，則
____________．
10．將棱長為3的正四面體的各條棱三等分,經過分點將原正四面體各頂點附近均截去一個棱長為1的小正四面體,則剩下的多面體的棱數是________．
11．在復平面內，如果復數
所對應的點在第三象限，則方程
所表示的曲線的焦點坐標是________________．
12．若
，要使
的反函數
的定義域是
，則函數
的定義域可能是_________________（只需寫出滿足條件的一個結論）．
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分.
13．已知一組數據
(
，且
為奇數)的中位數是
，則是（A）的算術平均數，即
．
（B）的幾何平均數，即
．
（C）的平方平均數，即
．
（D）將按從小到大的順序排列后的第
個數．
[答]（ ）
14．若m、n是不重合的直線,a、b是不重合的平面，則下列命題中真命題是
（A）若mÌa，n//a，則m//n． （B）若m^a，m^b，則a//b．
（C）若
,m//n,則m//a且m//b． （D）若m//a，m//b，則a//b．
[答]（ ）
15．設
，則
是奇函數的充要條件是
（A）
．
（B）
．
（C）
．
（D）
．
[答]（ ）
16．(理)若
的值域為
，則點
的軌跡是圖中的
（A）線段AB和OA．
（B）線段AB和BC．
（C）線段AB和OC．
（D）點A和點C．
[答]（ ）
（文）設
，且
，
，則點(a，b)在直角坐標系aOb平面上的區域的面積是
（A）
．
（B）1．
（C）2．
（D）
．
[答]（ ）
三. 解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17.（本題滿分12分）
在
中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，
若
，且
，求：的面積S．
18.（本題滿分12分）
設復數
，且復數
滿足
（
是虛數單位），則當
滿足什么條件時，
是純虛數？
19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分.
如圖，在長方體
中，
，
，
．若分別過
、
作兩個
平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記
為
，
，
，且
，
（1）求截面
的面積；
（2）求直線
到平面的距離．
對于問題“已知函數
，問函數是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．”
一個同學給出了如下解答：
解：令
，則
，
當
時，
有最大值，
，顯然沒有最小值
∴當時，有最小值
，沒有最大值．
(1) 你認為上述解答是否正確？若不正確，說明理由，并給出正確的解答；
(2)（理）對于函數
，試研究其最值情況．
（文）試研究函數
的最值情況．
21.（本滿分16分）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分8分.
在數控機床加工零件時，刀具磨損會影響加工精度．對刀具的磨損進行補償，能提高刀具的使用壽命，但也增加了成本，降低了使用效率．現有某種刀具，經每個月測得的刀具厚度（單位：mm）如下：
時間（月）
1
2
3
4
5
刀具厚度
27.0
26.8
26.5
26.3
26.1
如果僅用第1、3兩個月的數據來近似地刻畫刀具厚度(mm)與時間(月)
(n是正整數)之間滿足的一次關系．
(1) 試確定與滿足的關系；
(2) 如果刀具的厚度小于
(3)不換刀具時，第個月產生的效益是
萬元、成本是
萬元，更換一把刀具需要4萬元．試問在第幾個月更換刀具，可使這幾個月的平均利潤
最大？并估計此時的刀具厚度．
22.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分10分.
直角坐標平面內到點
和直線
的距離相等的動點M的軌跡為C，過原點作斜率為1的直線交C于一點
（
），過
作斜率為
的直線
交C于另一點
，過
作斜率為
的直線
交C于另一點
，過
作斜率為
的直線
交C于另一點
．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）試求出
的值；
（3）依照上述作直線的方式可以一直作下去，試寫出直線
的作法，你能否發現這些點列的坐標或中點坐標(可以僅僅是橫坐標或縱坐標)的變化規律，請你進一步提出某些一般性結論，并給予研究論證．
閔行區2006年第二學期高三質量監控考試
數學試卷
一． 填空題（每題4分，共48分）
1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理
、文7; 7. 理
; 12.
(或
).
二．選擇題（每題4分，共16分）
13．D； 14．B； 15．C； 16．理B、文B．
三. 解答題. 17.（本題滿分12分）解：由已知得
(3分)
∴
, ∴
(6分)
∴
又
，即
,∴
(9分)
∴
的面積S=
．
(12分)
18.（本題滿分12分）解：∵
，∴
(5分)
∵
，欲使
是純虛數，
而=
(7分)
∴
， 即
(11分)
∴當
時，是純虛數.
(12分)
19.（本題滿分14分，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分）
解：（1）依題意設
，則
，
(2分)
(4分) 而
，
∴
，即
， (6分) ∴
(7分)
從而
.
(9分)
（2）
平面
，
∴直線
到平面的距離即點
到平面的距離
(2分)
也就是
的斜邊
上的高，為
.
(5分)
20.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）
解：（1）不正確.
(2分)
沒有考慮到
還可以小于
.
(3分)
正確解答如下：
令
，則
，
當
時，
，即
(5分)
當
時，
，即
(7分)
∴或，即
既無最大值，也無最小值.
(8分)
（2）（理）對于函數
，令
①當
時，有最小值，
，
(9分)
當
時，
，即
，當
時，即
∴或，即既無最大值，也無最小值.
(10分)
②當
時，有最小值，
，
此時，
，∴
，即，既無最大值，也無最小值 .(11分)
③當
時，有最小值，
，即
(12分)
∴
，即
，
∴當
時，有最大值
，沒有最小值.
(13分)
∴當
時，既無最大值，也無最小值。
當時，有最大值，此時；沒有最小值.
(14分)
（文）∵
， ∴
（12分）
∴函數
的最大值為
（當
時）而無最小值． （14分）
21.（本滿分16分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分8分）
解：（1）
（4分）
（2）由
解得
（7分）
所以第
個月更換刀具.
（8分）
（3）第
個月產生的利潤是：
（9分）
個月的總利潤：
（11分）
個月的平均利潤：
（13分）
由 
且
在第7個月更換刀具，可使這7個月的平均利潤
最大（13.21萬元） （14分）此時刀具厚度為
（mm）
（16分）
22.（本題滿分18分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分10分）
解：（1）
（4分）
（2）各點的橫坐標為：
(8分)
（3）過
作斜率為
的直線
交拋物線于另一點
，
(9分)
則一般性的結論可以是：
點
的相鄰橫坐標之和構成以
為首項和公比的等比數列（或：點
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列；或：
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列，等）(12分)
證明：設過點
作斜率為
的直線交拋物線于點
由
得
或
；
點的橫坐標為
，則
(14分)
于是
兩式相減得：
(16分)
=
故點無限逼近于點
同理無限逼近于點
（18分）
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