山西省太原五中2009年四月高三月考
數 學(文)
一．選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，
1.設
是集合A到集合B的映射,若
則
等于( )
A. 
B.
C.
或 D. 或
2．函數
（ ）
A．周期為
的偶函數
B．周期為的奇函數
C．周期2的奇函數
D．周期為2的偶函數
3.直線
與平面
滿足
,
,那么必有 (
)
A. 
且
B. 且
C. 且
D. 
且
4.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲乙均不與丙相鄰，不同排法種數有 （ ）
A. 72
B
5.若直線
mx+ny=4和圓O:
沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓
的交點個數為
( )
A.至多一個 B.2個 C.1個 D.0個
6． 在
上，函數
與
在同一點取得相同的最小值，那么p、q的值分別
（ ）
A．1,3 B．2,
7. 7. 點
從點
出發(fā)，按逆時針方向沿周長為
的圖形運動一周，
兩點連線的距離
與點
走過的路程
的函數關系如圖，那么點所走的
圖形是 （ ）
 |
8.四面體A-BCD的四個頂點都在半徑為2的球上.且AB,AC,AD兩兩垂直,則
的最大值為
( )
A. 8
B. 
9．設
，則a＞b的充分不必要條件是
（ ）
A．a3＞b3 B．
＞
10.已知點P是橢圓
上的動點, 
為橢圓的兩個焦點,O是坐標原點,若M是
的角平分線上一點且
，則
的取值范圍為( )
A. 
B.
C
D. 
11．雙曲線
的左、右焦點分別為
，點
在其右支上，且滿足
，
，則
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12.數列
滿足
且
…
對任何的正整數成立，則
…
的值為
（ ）
A. 5032 B.
二、填空題 （每小題5分，共20分）
13．二項式
展開式中所有無理系數之和為
14．已知
，
，
=2 當
的面積最大時，
與
的夾角為
15.一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB=BC=CA=3，則球的半徑是 ,球的體積為 .
16.實系數一元二次方程
的兩個實根為
，若0<
,則
的取值范圍為
三、解答題
17.（本小題滿分10分）
已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
且
的夾角為
，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求
的最小值。
18．(本小題滿分l2分)
在
兩只口袋中均有
個紅球和個白球，先從
袋中任取個球轉放到
袋中，再從袋中任取一個球轉放到袋中，結果袋中恰有一個紅球的概率是多少 ?
19． (本小題滿1 2分)已知三棱錐
中,
在底面
上的射影
為
的重心,且
.
(Ⅰ)求
與底面所成的角的大小；
(Ⅱ)當二面角
的大小最小時,求三棱錐的體積.
20.（本小題滿1 2分）．函數f (x) =
，其圖象在點A(1，f (1))、B(m，f (m))處的切線斜率分別為0、1．
（1）求證：-1＜
≤0； （2）若x≥k時，恒有f′(x)＜1，求k的最小值
21．（本小題滿分12分）
在直角坐標平面中，的兩個頂點
的坐標分別為
，
，平面內兩點
同時滿足下列條件：
①
；②
；③
∥
．
（１）求的頂點
的軌跡方程；
（２）過點
的直線與（１）中軌跡交于不同的兩點
，求
面積的最大值。
22．（本題滿分12分）已知數列
滿足關系：
，
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）證明：
.
太 原 五 中
2008―2009學年度第二學期月考(4月)
高三數學( 文)答卷紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13 ； 14 .；
二、填空題（每小題5分）
15. ； 16 。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.
18.
19.
20.
(21、22題寫在背面，請標清題號。)
高三數學(文)答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
B
C
C
A
B
B
C
B
二、填空題（每小題5分）
13
； 14
；
15. 2 
； 16
。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.解 （Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角，
……………………5分
（Ⅱ）
……………………8分
有最小值。
的最小值是
……………………10
18．解：經過操作以后袋中只有一個紅球，有兩種情形出現
①先從中取出
紅和白，再從中取一白到中
…………………………………………(6分)
②先從中取出紅球,再從中取一紅球到中
…………………………………………(12分)
19. 解：(Ⅰ)如圖,連
并延長交
于點
,依題意知,
就是與底面所成的角,且為的中點.∴
,
.
在
中,
,∴
,故與底面所成的角
.…………………5分
(Ⅱ)過點作
于
,連
,則
,∴
為二面角的平面角. ……………8分
在
中,斜邊上的高為
,
∴
在
中,
.
二面角的最小值為
,當且僅當
.
∴
.…………12分
20.解證（1）依題意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m2 + 2bm + c = 1．……………1分
∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜
將c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜
．………………………………3分
將c = 1? 2b代入-m2 + 2證bm + c = 1，得 -m2 + 2bm ? 2b = 0．
由
= 4b2
- 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分
綜上所述，-1＜≤0．………………………………6分
（2）由f′(x)＜1，得 -x2 + 2bx ? 2b＜0．
∴x2 
，………………………………8分
易知
為關于的一次函數．………………………………9
依題意，不等式g()＞0對-1＜≤0恒成立，
∴
得x≤
或x≥
．
∴k≥，即k的最小值為．………………………………12分
21. 解：（１）設
，
點在線段
的中垂線上．由已知
． …………1分
又
∥，
．又，
，
． ………………………………………………3分
，
，
，
頂點的軌跡方程為
． …5分
（２）設直線方程為：
，
，
，
由
消去得：
①
， 
． ………………………………………7分
由方程①知
＞
，
＜
，
，
＜
＜． …………………………………………8分
而
．………………………………………10分
令
，則
，
．記
，
求導易得當
時有面積的最大值
．
……………………
22．解：（1）
故是等比數列。 ……………………6分
（2）
由
及：
……………………12分
太 原 五 中
2008―2009學年度第二學期月考(4月)
高 三 數 學(文)
只有一項是符合題目要求的。)
一．選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，
1.設是集合A到集合B的映射,若則等于( )
A. B.
C.
或 D. 或
2．函數
（ ）
A．周期為的偶函數
B．周期為的奇函數
C．周期2的奇函數
D．周期為2的偶函數
3.直線與平面滿足,,那么必有 (
)
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
4.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲乙均不與丙相鄰，不同排法種數有 （ ）
A. 72
B
5.若直線mx+ny=4和圓O:沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓的交點個數為
( )
A.至多一個 B.2個 C.1個 D.0個
6． 在上，函數與在同一點取得相同的最小值，那么p、q的值分別
（ ）
A．1,3 B．2,
7. 7. 點從點出發(fā)，按逆時針方向沿周長為
的圖形運動一周，兩點連線的距離與點
走過的路程的函數關系如圖，那么點所走的
圖形是 （ ）
|
8.四面體A-BCD的四個頂點都在半徑為2的球上.且AB,AC,AD兩兩垂直,則的最大值為
( )
A. 8
B.
9．設，則a＞b的充分不必要條件是
（ ）
A．a3＞b3 B．＞
10.已知點P是橢圓 上的動點, 為橢圓的兩個焦點,O是坐標原點,若M是的角平分線上一點且 ，則的取值范圍為( )
A. B.
C
D.
11．雙曲線的左、右焦點分別為，點在其右支上，且滿足，，則的值是 （ ）
A．
B． C． D．
12.數列滿足 且…對任何的正整數成立，則…的值為
（ ）
A. 5032 B.
二、填空題 （每小題5分，共20分）
13．二項式展開式中所有無理系數之和為
14．已知， ，=2 當的面積最大時，與的夾角為
15.一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB=BC=CA=3，則球的半徑是 ,球的體積為 .
16.實系數一元二次方程的兩個實根為，若0<,則的取值范圍為
三、解答題
17.（本小題滿分10分）
已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3且的夾角為，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求的最小值。
18．(本小題滿分l2分)
在兩只口袋中均有個紅球和個白球，先從袋中任取個球轉放到袋中，再從袋中任取一個球轉放到袋中，結果袋中恰有一個紅球的概率是多少 ?
19． (本小題滿1 2分)已知三棱錐中,在底面上的射影為的重心,且.
(Ⅰ)求與底面所成的角的大小；
(Ⅱ)當二面角的大小最小時,求三棱錐的體積.
20.（本小題滿1 2分）．函數f (x) =，其圖象在點A(1，f (1))、B(m，f (m))處的切線斜率分別為0、1．
（1）求證：-1＜≤0； （2）若x≥k時，恒有f′(x)＜1，求k的最小值
21．（本小題滿分12分）
在直角坐標平面中，的兩個頂點的坐標分別為，，平面內兩點同時滿足下列條件：
①；②；③∥．
（１）求的頂點的軌跡方程；
（２）過點的直線與（１）中軌跡交于不同的兩點，求面積的最大值。
22．（本題滿分12分）已知數列滿足關系：，
（1）求證：數列是等比數列；
（2）證明：.
太 原 五 中
2008―2009學年度第二學期月考(4月)
高三數學( 文)答卷紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13 ； 14 .；
二、填空題（每小題5分）
15. ； 16 。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.
18.
19.
20.
(21、22題寫在背面，請標清題號。)
高三數學(文)答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
B
C
C
A
B
B
C
B
二、填空題（每小題5分）
13； 14；
15. 2 ； 16。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.解 （Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角，
……………………5分
（Ⅱ）
……………………8分
有最小值。
的最小值是……………………10
18．解：經過操作以后袋中只有一個紅球，有兩種情形出現
①先從中取出紅和白，再從中取一白到中
…………………………………………(6分)
②先從中取出紅球,再從中取一紅球到中
…………………………………………(12分)
19. 解：(Ⅰ)如圖,連并延長交于點,依題意知,就是與底面所成的角,且為的中點.∴,.
在中,,∴,故與底面所成的角.…………………5分
(Ⅱ)過點作于,連,則,∴為二面角的平面角. ……………8分
在中,斜邊上的高為,
∴
在中,.
二面角的最小值為,當且僅當.
∴.…………12分
20.解證（1）依題意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m2 + 2bm + c = 1．……………1分
∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜
將c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜．………………………………3分
將c = 1? 2b代入-m2 + 2證bm + c = 1，得 -m2 + 2bm ? 2b = 0．
由= 4b2
- 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分
綜上所述，-1＜≤0．………………………………6分
（2）由f′(x)＜1，得 -x2 + 2bx ? 2b＜0．
∴x2 ，………………………………8分
易知為關于的一次函數．………………………………9
依題意，不等式g()＞0對-1＜≤0恒成立，
∴得x≤或x≥．
∴k≥，即k的最小值為．………………………………12分
21. 解：（１）設 ，
點在線段的中垂線上．由已知． …………1分
又∥，．又，
，
． ………………………………………………3分
， ，
，頂點的軌跡方程為 ． …5分
（２）設直線方程為：，，，
由
消去得：
①
， ． ………………………………………7分
由方程①知＞，
＜，，＜＜． …………………………………………8分
而
．………………………………………10分
令，則，．記，
求導易得當時有面積的最大值．
……………………
22．解：（1）
故是等比數列。 ……………………6分
（2）
由及：
……………………12分
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