Question

【題目】開普勒1609年一1619年發表了著名的開普勒行星運行三定律，其中第三定律的內容是：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等．萬有引力定律是科學史上最偉大的定律之一，它于1687年發表在牛頓的《自然哲學的數學原理》中．
（1）請根據開普勒行星運動定律和牛頓運動定律等推導萬有引力定律（設行星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動）；
（2）牛頓通過“月﹣地檢驗”進一步說明了萬有引力定律的正確性，請簡述一下如何進行“月﹣地檢驗”？

Answer 1

【答案】
（1）

設行星的質量為m，太陽質量為M，行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉周期為T，太陽對行星的引力為F．

太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m（ ）2R= mR

根據開普勒第三定律 =K

得T2=

故F= mK

根據牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質量成正比．所以太陽對行星的引力

F∝

寫成等式有 F=G （G為常量）

（2）

如果重力與星體間的引力是同種性質的力，都與距離的二次方成反比關系，那么，由于月心到地心的距離是地球的半徑的N倍，月球繞地球做近似圓周運動，其向心加速度就應該是地球表面重力加速度的 倍，在牛頓的時代，重力加速度已經比較精確的測定，也能精確的測定月球與地球的距離，月球公轉的周期，從而能夠算出月球運動的向心加速度．根據計算結果驗證是否符合上述的“平方反比”關系

【解析】（1）設行星的質量為m ， 太陽質量為M ， 行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉周期為T，太陽對行星的引力為F ．
太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m（）2R= mR
根據開普勒第三定律 =K
得T2=
故F= mK
根據牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質量成正比．所以太陽對行星的引力
F∝
寫成等式有 F=G （G為常量）．（2）如果重力與星體間的引力是同種性質的力，都與距離的二次方成反比關系，那么，由于月心到地心的距離是地球的半徑的N倍，月球繞地球做近似圓周運動，其向心加速度就應該是地球表面重力加速度的 倍，在牛頓的時代，重力加速度已經比較精確的測定，也能精確的測定月球與地球的距離，月球公轉的周期，從而能夠算出月球運動的向心加速度．根據計算結果驗證是否符合上述的“平方反比”關系．
答：（1）推導如上所述；（2）簡述如上說明．
行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律．由圓周運動可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度進行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質的力．