Question

【題目】所謂暗物質是指宇宙中那些既不發光也不反光，因而無法看到的物質，不過暗物質與通常物質都遵循萬有引力定律，天文觀測有跡象表明，暗物質的質量可能占宇宙總質量的90%至99%．如果能用磁譜儀探測到暗物質，從而進一步測出宇宙中物質的總平均密度，那么，我們就能根據下面敘述的原理預言宇宙膨脹的前景．

宇宙的膨脹現象是在20世紀30年代由哈勃等科學家發現的，它是指觀察者在宇宙中的任何一個星系（例如O）上向任何一方向看去，會看到所有其他的星系（例如P）都在遠離自己，其速度v與距離R成正比，即，如圖b所示比例系數H叫哈勃常量，單位為千米/（秒·光年）．

①如果認為宇宙是均勻的各向同性的，其物質密度為，那么質量為m的星系P在遠離觀察者O時，所受到的宇宙所有其他物質（包括圖b球面內、外兩部分）對它的總引力是多少？

②如果質量為m的星系P相對于O點的引力勢能（其中M為圖b中球面內物質的質量），星系P的總能量E等于其動能與引力勢能之和，以證明恰使E=0的宇宙物質密度．

③試說明，通過比較現在宇宙的物質密度與上述密度的大小即可預言宇宙膨脹前景：或永遠膨脹下去，或在將來的某一時刻停止膨脹，轉而變為收縮．

Answer 1

【答案】① ②證明見解析 ③ 說明見解析

【解析】

①半徑為R的球面內所有物質的質量為，對P的萬有引力．而球外的所有物質可以看作是無數多個空心物質殼的總合，每一個密度均勻的空心球殼對其內的任一質點的引力為零，故該球面外所有物質對P的引力．綜合以上兩部分，可知宇宙中所有物質對P的總引力．

②因，可以看出，星系P的行為跟地球表面上拋物體的行為類似，當初動能完全轉化為引力勢能時，總能量E=0，即：，將代入，可解得

③當時，，則，因M恒定，說明星系P雖隨R增大在減速，但星系間距離R的增大并無上限，即宇宙將永遠膨脹下去。當時，，則有（c為光速），由此可知．星系間距高達最大值時，宇宙膨脹停止，開始轉為收縮。