Question

如圖所示，半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓筒形場(chǎng)區(qū)的邊界由彈性材料構(gòu)成。一個(gè)質(zhì)量為m．電荷量為q的正離子(不計(jì)重力)以某一速度從筒壁上的小孔M進(jìn)入筒中，速度方向與半徑成θ=30°夾角，并垂直于磁場(chǎng)方向。離子和筒壁的碰撞無能量和電荷量的損失．若選擇合適的進(jìn)入速度，離子可以從M孔射出。問：

(1)離子的速度多大時(shí)，離子可以在最短的時(shí)間內(nèi)返回M孔最短的時(shí)間是多少?
(2)如果離子與筒壁發(fā)生兩次碰撞后從M孔射出，離子的速率是多大?從進(jìn)入圓筒到返回M孔經(jīng)歷的時(shí)間是多少?

Answer 1

(1)  (2)  

(1)離子要在最短的時(shí)間內(nèi)返回M孔，離子只能與圓筒碰撞一次，據(jù)此畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，碰撞點(diǎn)在過M點(diǎn)的直徑的另一端N。設(shè)離子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r，速率為V₁.根據(jù)向心力公式,①結(jié)合圖中的幾何關(guān)系可得r=2R，②解得離子的速率,③離子在磁場(chǎng)中走過的每段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角=60°，④經(jīng)歷的時(shí)間,⑤即.⑥
(2)離子與筒壁發(fā)生兩次碰撞后從M孔射出，根據(jù)對(duì)稱性畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。
結(jié)合圖中的幾何關(guān)系可得r=R， ⑦
則離子的速率，   ⑧
離子在磁場(chǎng)中走過的每段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角′=120°， ⑨
經(jīng)歷的時(shí)間。  ⑩