Question

如圖，在平面直角坐標系xoy內，第一象限的射線op與x軸夾角為30º，在∠pox范圍之外存在垂直xoy面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、帶電量為q的正電粒子，從o點以沿y軸負方向的速度v出發僅受磁場力而運動。試求：

（1）粒子離開o點后，第三次經過磁場邊界時的位置坐標；
（2）粒子在磁場中運動的總時間；
（3）若保持其它條件不變而將∠pox變為15º，粒子出發之后將總共幾次穿越磁場邊界？

Answer 1

（1）（，）（2）（3）11次

試題分析：

（1）粒子在磁場中做圓周運動，如圖為粒子運動軌跡描繪，
洛侖茲力提供向心力：    
得圓軌道半徑
第一段圓弧軌跡OA為半圓，A點橫坐標為2R
粒子再次由點B（2R，）進入磁場，進入磁場時與邊界OP夾角θ₂=60º
粒子再次出磁場即第三次經過磁場邊界在位置C，由幾何關系
BC=2Rsinθ₂=
由此易得C點坐標（，），即（，）
（2）粒子在磁場中運動周期周期
粒子第一段圓弧OA圓心角180º，第二段圓弧BC圓心角為360º-2θ₂=240º
由幾何關系，粒子第三次進入磁場時，速度與邊界Ox夾角θ₃=30º，這也是粒子第三次出磁場時速度與邊界Ox的夾角，因為∠Pox=α=30º，所以第三次出磁場后粒子速度與OP平行，不再能進入磁場。…………1分
容易求得粒子第三次在磁場中軌跡的圓心角為60º.
所以粒子在磁場中運動總時間為：
t== 
（3）每一次粒子進入磁場時速度與磁場邊界夾角，與出磁場時速度與磁場邊界夾角相等，如右圖可看出：
θ_n+1=θ_n-α
其中θ_n為粒子第n次在磁場中運動過程中，進磁場或出磁場時其速度與磁場邊界的夾角，可看出這個角度每次減小α，若第n次的θ_n減為0或者負值，則第n次圓周運動將不再發生。α為15º，θ₁為90º，因為：θ₁-6α=0
所以粒子只能在磁場中進行6次圓周運動，出發后穿越磁場邊界的次數為11次