Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.

(1)若D為線段AC的中點，求證：AC⊥平面PDO；

(2)求三棱錐P－ABC體積的最大值；

(3)若，點E在線段PB上，求CE＋OE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）證明AC⊥DO，PO⊥AC，再證明AC⊥平面PDO；（2）當CO⊥AB時，C到AB的距離最大，且最大值為1，再求三棱錐P－ABC體積的最大值；（3）先證明PB＝PC＝BC，在三棱錐P－ABC中，將側面BCP繞PB旋轉至平面BC′P，使之與平面ABP共面，當O，E，C′共線時，CE＋OE取得最小值．再求其最小值.

(1)證明：在△AOC中，因為OA＝OC，D為AC的中點，所以AC⊥DO.

又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC.

因為DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.

(2)解：因為點C在圓O上，所以當CO⊥AB時，C到AB的距離最大，且最大值為1.

又AB＝2，所以△ABC面積的最大值為.

又因為三棱錐P－ABC的高PO＝1，

故三棱錐P－ABC體積的最大值為.

(3)解：

在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，

所以.

同理，所以PB＝PC＝BC.

在三棱錐P－ABC中，將側面BCP繞PB旋轉至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖所示．

當O，E，C′共線時，CE＋OE取得最小值．

又因為OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E為PB的中點．

從而，

即CE＋OE的最小值為.