Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知直線的普通方程為，曲線的參數方程為（為參數），設直線與曲線交于， 兩點.

（Ⅰ）求線段的長；

（Ⅱ）已知點在曲線上運動，當的面積最大時，求點的坐標及的最大面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程，與直線方程聯立，求出 點的坐標，利用兩點間的距離公式求解即可；（Ⅱ）設過點且與直線平行的直線方程.則與相切時， 的最大面積，求出 點坐標，根據點到直線的距離公式及三角形面積公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）曲線的普通方程為.

將直線代入中消去得， .

解得或.

所以點， ，

所以 .

（Ⅱ）在曲線上求一點，使的面積最大，則點到直線的距離最大.

設過點且與直線平行的直線方程.

將代入整理得， .

令 ，解得.

將代入方程，解得.

易知當點的坐標為時， 的面積最大.

且點到直線的距離為 .

的最大面積為.