Question

【題目】已知函數，，為的導函數.

（1）討論的單調性，設的最小值為，并求證：

（2）若有三個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先對求導,設,再對求導,即可判斷的單調性且可求得的最小值,設,利用導函數求得的最小值,即可求解；

（2）由（1）,若,則,即在上單調遞增,不可能有3個零點,則,由（1）可知的單調性,且,,由零點存在性定理可得,存在,使得,存在,使得,即可判斷的單調性,再利用零點存在性定理可得存在,使得,若滿足題意,則使得,進而求解即可.

（1）,

令,

所以,

令,解得,

所以當時,,所以單調遞減,即單調遞減；

當時,,所以單調遞增,即單調遞增；

所以的最小值,

令,

則,

令,解得,

所以單調遞增；

單調遞減,

所及,命題得證.

（2）由（1）若的最小值,

即時,,此時在上單調遞增,

因為在上單調遞增,不可能有三個零點,

所以,此時,

又由(1)可知,單調遞減；

,單調遞增,其中,

且,,所以存在,使得,

存在,使得,

所以在區間上單調遞增,在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,

其中在中,有,存在,使得,

在區間上要有兩個零點,必須①,

其中使得成立,即②,代入①式,

得,解得,

由②得,令,,

所以在時單調遞增,所以,

所以.