Question

【題目】已知橢圓.

（Ⅰ）若的一個焦點為，且點在上，求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知上有兩個動點，為坐標原點，且，求線段的最小值（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ)由橢圓焦點為,可得,再依據點在橢圓上,列出方程組解出,即可得橢圓方程;

(Ⅱ)先求出直線斜率不存在時的長度,然后當直線斜率存在時,設直線方程為,將之與橢圓方程聯立,得到韋達定理,結合可得,再利用弦長公式求出,最后對比兩種情況下的長度,進而求出最小值.

(Ⅰ)因為橢圓焦點為,.

又點在上,則有,

解得.

橢圓方程為.

(Ⅱ)①當直線斜率不存在時,根據對稱性可知直線,直線的方程為,

將之代入中,可得,

所以.

②當直線斜率存在時,設直線方程為.

聯立

得,

由,可得,

又,

,

,

.

綜上所述,的最小值為.