Question

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前項(xiàng)和分別為，且，.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）求；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.

【解析】

（1）利用基本量法直接計(jì)算即可；

（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

（3），令可得，，討論即可.

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，

因?yàn)?/span>，

所以，即，解得，或（舍去）.

所以.

（2），

，

所以，

所以.

（3）由（1）可得，，

所以.

因?yàn)?/span>是數(shù)列或中的一項(xiàng)，所以，

所以，因?yàn)?/span>，

所以，又，則或.

當(dāng)時(shí)，有，即，令.

則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即.

由，知無(wú)整數(shù)解.

當(dāng)時(shí),有，即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng)，

故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項(xiàng).