Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， 分別為線段上的點，且,

.

（1）求證： 平面；

（2）若與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析; （1）連接，據勾股定理可證，即

進而證得平面, 又由勾股定理證得，于是平面

（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立直角坐標系，由空間向量的夾角公式可求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：連接，據題知

∵在中， ∴，且

∴，∴ ，即

∵ ∴平面, 平面，∴

∵在中， ，∴

則，∴

∵，∴ 平面

（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立如圖所示的直角坐標系，

且與平面所成的角為，有，則

∴

又∵由（1）知，∴ 平面

∴為平面的一個法向量

設平面的法向量為，則

∴，令，則

∴為平面的一個法向量

∴

故平面與平面的銳二面角的大小為.