Question

【題目】已知點(diǎn)Pn(an ， bn)滿足an＋1＝an·bn＋1 ， bn＋1＝(n∈N*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，－1)．
（1）求過(guò)點(diǎn)P1 ， P2的直線l的方程；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N* ， 點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

由P1的坐標(biāo)為（1，-1）知a1=1,b1=-1.

所以

所以點(diǎn)p2的坐標(biāo)為

所以直線l的方程為2x+y=1.

（2）

【解答】

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a1+b1=21+(-1)=1成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)，2ak+bk=1成立。

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。

由（1）（2）知，對(duì),都有2an+bn=1,

即點(diǎn)Pn在直線l上.

【解析】一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)學(xué)歸納法的步驟的相關(guān)知識(shí)，掌握

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時(shí)命題成立； C.證明n=k+1時(shí)命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對(duì)任何自然數(shù)(或n>=,且)結(jié)論都成立

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