Question

【題目】已知函數f（x）=1+x﹣ +…+ ，g（x）=1﹣x+ ﹣…﹣ ，設函數F（x）=f（x+4）g（x﹣5），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則b﹣a的最小值為（ ）
A.9
B.10
C.11
D.12

Answer 1

【答案】D
【解析】解∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，
∴函數f（x）在區間（﹣1，0）內有零點；
當x∈（﹣1，0）時，f′（x）= ＞0，
∴函數f（x）在區間（﹣1，0）上單調遞增，
故函數f（x）有唯一零點x∈（﹣1，0）；
∵g（1）=1﹣1+ ﹣ +…﹣ ＞0，
g（2）=1﹣2+ ﹣ +…+ ﹣ ＜0．
當x∈（1，2）時，f′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2016﹣x2017= ＞0，
∴函數g（x）在區間（1，2）上單調遞增，故函數g（x）有唯一零點x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+4）g（x﹣5），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，
∴f（x+4）的零點在（﹣5，﹣4）內，g（x﹣5）的零點在（6，7）內，
因此F（x）=f（x+4）g（x﹣5）的零點均在區間[﹣5，7]內，
∴b﹣a的最小值為7﹣（﹣5）=12．
故選：D．