Question

【題目】如圖所示，在底面為梯形的四棱錐S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，，SA＝SC＝SD＝2．

（1）求證：AC⊥SD；

（2）求三棱錐B﹣SAD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AC中點O，連結(jié)OD，SO，由等腰三角形的性質(zhì)可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；

（2）由△ASC是等邊三角形可求得SO，AC，結(jié)合已知條件，利用勾股定理得AD⊥CD，SO⊥OD，故SO⊥平面ABCD，再利用三棱錐體積轉(zhuǎn)化計算即可．

（1）取AC中點O，連結(jié)OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，

又∵OS平面SOD，OD平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，∵SD平面SOD，∴AC⊥SD．

（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等邊三角形，∴AC＝2，OS＝，

∵AD＝CD＝，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝＝1．

∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，AC平面ABCD，OD平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD，

∴V棱錐B﹣SAD＝V棱錐S﹣ABD＝S△ABDSO＝．