Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形， 分別為線段， 的中點.

(1)求證： ||平面；

(2)四棱柱的外接球的表面積為，求異面直線與所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接BD1，由中位線定理證明EF∥D1B，由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC1D1；
（2）由（1）和異面直線所成角的定義，得異面直線EF與BC所成的角是∠D1BC，由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑，由勾股定理求出側棱AA1的長，由直四棱柱的結構特征和線面垂直的定義，判斷出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．

試題解析：

（1）連接，在中， 分別為線段的中點，∴為中位線，

∴，而面， 面，∴平面.

（2）由（1）知，故即為異面直線與所成的角.

∵四棱柱的外接球的表面積為，

∴四棱柱的外接球的半徑，

設，則，解得，

在直四棱柱中，∵平面， 平面，

∴，在中， ，

∴，

∴異面直線與所成的角為.