Question

如圖， PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，點E在邊AB上，F為PD的中點，AF∥平面PCE，二面角P-CD-B為45⁰，AD=2，CD=3.

（1）試確定E點位置； （2）求直線AF到平面PCE的距離.

Answer 1

（1）過AF、AB作平面β交PC于點G，連FG、EG，

∵四邊形ABCD是矩形，點E在邊AB上，∴EA∥CD，
∴EA∥平面PCD， ∴EA∥FG∥CD， 
∵AF∥平面PCE，∴AF∥EG， 則四邊形AEGF是平行四邊形
又∵F為PD的中點，∴EA=FG=CD，
則點E是邊AB的中點. 
（2）延長CE、DA交于點H，作AM⊥HC，垂足為點M；連接AM、PM，作AN ⊥PM，垂足為點N.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥HC，則HC⊥平面PAM，
∴HC⊥AN，則AN ⊥平面PEC；又∵AF∥平面PCE，∴線段AN的長是直線AF到平面PCE的距離. ∵二面角P-CD-B為45⁰，可證得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，
∴∠PAD=45⁰.     在Rt△PAD中，∵AD=2，∴PA="2."
又在Rt△HCD中，∵EA =CD，CD=3，∴AH= AD=2.
∵AM⊥HC，∴Rt△HCD∽Rt△HAM，可求得AM=.
在Rt△PAM中，∵S_△PAM=PA•AM=AN•PM，∴AN=.   
解法二：以點A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為X、Y、Z軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），由已知可得A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），
∵二面角P-CD-B為45⁰，可證得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PAD=45⁰.
在Rt△PAD中， AD=2，∴PA=2，則P（0，0，2）
又∵F為PD的中點，∴F（0，1，1）
則=（0，1，1），=（3，2，-2） 
∵點E在邊AB上，∴設E（λ，0，0），
則=（3-λ，2，0）
設平面PEC的法向量=（x，y，z），由•=0得（3-λ）x+2y=0，
由•=0得3x+2y-2z=0，解得y=，z=；
令x=2，得=（2，λ-3，λ）     
（1）∵AF∥平面PCE，∴•=0，即λ-3+λ=0，∴λ=
則點E是邊AB的中點.                                
（2）∵AF∥平面PCE，∴直線AF到平面PCE的距離等于點A到平面PCE的距離d，則d===

略