Question

【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區間的有8人．

（I）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區間的人數；

（II）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（I），甲班學習時間在區間的人數為人；

（II）的分布列為：

.

【解析】

試題分析：（I）由頻率分布直方圖中頻率之和即各小矩形面積之和為列出方程，可求的值；先由甲班學習時間在區間的有人，計算甲班的學生人數為，用甲班總人數乘以學習時間在區間的頻率即可；（II）先計算乙班學習時間在區間的人數為人，由（I）知甲班學習時間在區間的人數為3人，兩班中學習時間大于小時的同學共人，分別計算從這人中選取人甲班人數分別為時的概率，即可得到概率分布列及期望.

試題解析： （I）由直方圖知，，解得，

因為甲班學習時間在區間的有8人，所以甲班的學生人數為.

所以甲、乙兩班人數均為40人，所以甲班學習時間在區間的人數為（人）.

（II）乙班學習時間在區間的人數為（人）.

由（I）知甲班學習時間在區間的人數為3人.在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，的所有可能取值為0,1,2,3.

，，，.

所以隨機變量的分布列為：

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