Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明當時，關(guān)于的不等式恒成立;

（3）若正實數(shù)滿足，證明.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單增區(qū)間為；(2)(3)均見解析.

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，則時，關(guān)于的不等式恒成立等價于，在區(qū)間上，即可;(3) 由，即，令，，在區(qū)間上，證即可.

試題解析： （1） ，由，得.

又,所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單增區(qū)間為.

（2）令,所以,因為,所以,令,得,所以當,當時，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，令，因為，又因為在是減函數(shù)，所以當時，，即對于任意正數(shù)總有，所以關(guān)于的不等式恒成立.

（3）由，即，從而

，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，又，因此成立.