Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明：在定義域上為減函數；

（2）若時，討論函數的零點情況.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，函數沒有零點； 當或時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.

【解析】

試題分析：（1）先求函數的定義域，再求函數的導數，令令，則，由此可得，即即，，可證結論成立；（2），構造函數，求函數的導數，由導數研究函數的單調性，畫出函數的圖象，數形結合零點情況.

試題解析： （1）由題意可知函數的定義域為

.

令，則，

當時，；當時，；

∴，即，

∴，∴在定義域上為減函數.

（2）函數的零點情況，即方程的根情況，

∵，∴方程可化為，

令，則，

令，可得，

當時，；當時，；

∴，且當時，；當時，.

∴的圖象大致如圖示：

當時，方程沒有根，

當或時，方程有一個根，

當時，方程有兩個根.

∴當時，函數沒有零點；

當或時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點.