Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，為棱上的點，，.

（1）若為棱的中點，求證：平面；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當最大時，點N在線段CD上，且．

【解析】

（1）取線段SC的中點E，根據中位線定理即可證明，因而得到AMED為平行四邊形，即可證明平面SCD．

（2）建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，因而可以求得平面AMC和平面SAB的法向量，利用法向量的數量積求得平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦值即可。

（3）設出N點坐標，利用直線與平面夾角的正弦值即為直線與平面法向量夾角的余弦值即可求得的表達式；根據基本不等式成立的條件，求得N點的坐標，即可判斷出N點的位置。

（1）證明：取線段SC的中點E，連接ME，ED．

在中，ME為中位線，∴，

∵，

∴，

∴四邊形AMED為平行四邊形．

∴．

∵平面SCD，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）解：以點A為坐標原點，建立分別以AD、AB、AS為x軸、y軸、z軸，如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，

由條件得M為線段SB近B點的三等分點．

于是，即

設平面AMC的一個法向量為，則，

將坐標代入得，

另外易知平面SAB的一個法向量為，

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．

（3）設，其中．

由于，所以．

所以，

可知當，即時分母有最小值，此時有最大值，

此時，，即點N在線段CD上且．