Question

【題目】設函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，討論函數與圖象的交點個數.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調增區間是，無單調減區間；當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；（2）1個.

【解析】

（1）先求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區間；

（2）問題轉化為求函數的零點個數問題，通過求導，得到函數的單調區間，求出的極小值，從而求出函數的零點個數即和的交點個數.

（1）函數的定義域為，，

當時，，所以函數的單調增區間是，無單調減區間；

當時，；

當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.

綜上，當時，函數的單調增區間是，無單調減區間；

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是.

（2）令 ，，問題等價于求函數的零點個數，

當時，，，有唯一零點；

當時，，

當時，，函數為減函數，注意到，，所以有唯一零點；

當時，由得或，由得，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，注意到，

，

所以有唯一零點；

當時，由得，或，

由得，

所以函數在和單調遞減，在單調遞增，又，

所以，

而，所以有唯一零點.

綜上，函數有唯一零點，即當時函數與圖象總有一個交點.