Question

【題目】如圖，四棱錐中， 為等邊三角形，且平面平面， ， ， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】【試題分析】(I) 取的中點為，連接，.利用等腰三角形的性質和矩形的性質可證得,由此證得平面,故,故.(II) 可知是棱錐的高,利用體積公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性質求得的值,進而求得面積.

【試題解析】

證明：（Ⅰ）取的中點為，連接，，

∵為等邊三角形，∴.

底面中，可得四邊形為矩形，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴.

又，所以.

（Ⅱ）由面面，，

∴平面，所以為棱錐的高，

由，知，

，

∴.

由（Ⅰ）知，，∴.

.

由，可知平面，∴，

因此.

在中，，

取的中點，連結，則，，

∴ .

所以棱錐的側面積為.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知圓經過橢圓： 的兩個焦點和兩個頂點，點， ， 是橢圓上的兩點，它們在軸兩側，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點.

【解析】【試題分析】(I)根據圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設出直線的方程,聯立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點即為橢圓的焦點，圓與軸交點即為橢圓的上下兩頂點，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設直線的方程為.

由，消去得.

設， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因為，所以，

所以.

因此，直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關系的判斷.（2）弦長、弦中點問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設而不求.（2）坐標法.（3）根與系數關系.