Question

【題目】設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數．
（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求gn（x）的表達式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設n∈N+ ， 比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設得，

由已知 ，

，

…

可得

下面用數學歸納法證明．①當n=1時， ，結論成立．

②假設n=k時結論成立，即 ，

那么n=k+1時， = 即結論成立．

由①②可知，結論對n∈N+成立．

（2）解：已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ 恒成立．

設φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），則φ′（x）= ，

當a≤1時，φ′（x）≥0（僅當x=0，a=1時取等號成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上單調遞增，

又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

∴當a≤1時，ln（1+x）≥ 恒成立，（僅當x=0時等號成立）

當a＞1時，對x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調遞減，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0

即當a＞1時存在x＞0使φ（x）＜0，

故知ln（1+x）≥ 不恒成立，

綜上可知，實數a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（3）解：由題設知，g（1）+g（2）+…+g（n）= ，

n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），

比較結果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）

證明如下：上述不等式等價于 ，

在（2）中取a=1，可得 ，

令 則

故有 ，

ln3﹣ln2 ，…

，

上述各式相加可得 結論得證

【解析】（1）由已知 ， ， …可得 用數學歸納法加以證明；（2）由已知得到ln（1+x）≥ 恒成立構造函數φ（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），利用導數求出函數的最小值即可；（3）在（2）中取a=1，可得 ，令 則 ，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．