Question

【題目】已知函數．

（1）當時，函數恰有兩個不同的零點，求實數的值；

（2）當時，

① 若對于任意，恒有，求的取值范圍；

② 若，求函數在區間上的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①. ；②.

【解析】試題分析：（1）當時，考慮的解，化簡后得到或者，它們共有兩個不同的零點，所以必有解，從而．

（2）在上恒成立等價于在上恒成立，因此考慮在上的最小值和在上的最大值即可得到的取值范圍．

（3）可化為，則當或 時， 在上遞增；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，兩類情形都可以求得函數的最大值．當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，比較的大小即可得到的表達式．

解析：（1）當時， ，由解得或，由解得或．因為恰有兩個不同的零點且，所以，或 ，所以．

（2）當時， ，

①因為對于任意，恒有， 即 ，即，因為時， ，所以， 即恒有 令， 當時， ， ，所以， 所以， 所以．

②

當時， ，

這時在上單調遞增，此時；

當時， ，

在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以， ，

而 ，

當時， ;

當時， ；

當時， ，

這時在上單調遞增，在上單調遞減，此時；

當時， ， 在上單調遞增，此時；

綜上所述， 時，