Question

(本小題滿分16分)已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，⊙是以為直徑的圓.

（Ⅰ）當(dāng)⊙的面積為時(shí)，求所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙與直線相切時(shí)，求⊙的方程；
（Ⅲ）求證：⊙總與某個(gè)定圓相切.

Answer 1

PA 或
M

（Ⅰ）易得，設(shè)點(diǎn)P，
則，所以  3分
又⊙的面積為，∴，解得，∴，
∴所在直線方程為或    5分
（Ⅱ）因?yàn)橹本�的方程為，且到直線的
距離為   7分
化簡，得，聯(lián)立方程組，
解得或   10分
∴當(dāng)時(shí)，可得，∴⊙的方程為；
當(dāng)時(shí)，可得，∴⊙的方程為   12分
（Ⅲ）⊙始終和以原點(diǎn)為圓心，半徑為（長半軸）的圓（記作⊙）相切 13分
證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142234674673.png" style="vertical-align:middle;" />，
又⊙的半徑，
∴，∴⊙和⊙相內(nèi)切     16分
（說明：結(jié)合橢圓定義用幾何方法證明亦可）